Функции распределения и функции распределения вероятностей. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если — случайная величина, то функция

 

называется функцией распределения случайной величины .

Здесь  — вероятность того, что случайная величина  принимает значения, не превосходящие числа x.

Функция  распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

•  определена на всей числовой прямой ;
•  не убывает, т.е. если , то ;
• , , т.е.  и ;
• непрерывна справа, т.е. .

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация об этой случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением. Так что, когда говорят о нормальном распределении, то подразумевают случайную величину, имеющую нормальную функцию распределения. В дальнейшем будем использовать термин распределение.

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

Если  — дискретная случайная величина, принимающая значения  x₁ <x₂ < …< x_i < …. с вероятностями p₁ , p₂ ,  …, p_i , ….  то таблица вида

xi	x1	x2	…	xi	…
pi	p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Пример 1. Подбросим монету один раз. Будем полагать «выигрыш» равным единице, если монета упала цифрой вверх и нулю, если она упала вверх гербом.

Случайная величина — сумма «выигрыша.

Распределение суммы выигрыша:

xi	0	1
pi	0.5	0.5

Функция распределения случайной величины — суммы выигрыша:

На рис.1 приведен график функции распределения. Построенный в Excel.

Пример 2. Бросаем один раз игральную кость. Случайное событие — кость упала одной из граней вверх. Случайная величина — число, выпавшее на верхней грани.

Распределение числа очков:

xi	1	2	3	4	5	6
pi

Функция распределения случайной величины — суммы выигрыша:

Пример 3. Бросаем один раз игральную кость. Случайное событие — кость упала одной из граней вверх. Если на верхней грани выпало меньше 3, полагаем «выигрыш» равным 0, если больше — 1, если выпало 3 очка — 2.

Распределение суммы выигрыша:

xi	0	1	2
pi

Функция распределения случайной величины — суммы выигрыша:

Пример 4. На отрезке [0, 1] наугад (случайно) поставлена точка. Измеряется расстояние точки от левого конца отрезка. Полагаем случайную величину равной расстоянию от точки до левого конца отрезка.

Функция распределения непрерывной случайной величины — расстояния случайной точки единичного отрезка до левого конца отрезка:

Пример 5. В урне красный, белый и чёрный шары. «Выигрыш» равен количеству белых шаров среди двух, выбранных наугад. Эта случайная величина дискретная, она принимает значения из дискретного  множества {0, 1}.

Распределение суммы выигрыша:

xi	0	1
pi

Функция распределения случайной величины — суммы выигрыша:

 

Пример 6. Банк планирует инвестировать свободные средства в один из двух фондов. Один из фондов имеет  наибольшую доходность в период экономического подъёма, назовём его «Восход», другой — «Закат» — в период экономического спада. Оценивается доходность инвестиций для одного из трёх состояний экономики: подъём, стабильность, спад.  Данные даны в таблице:

Состояние экономики	Вероятность состояния	Доходность (прибыль на каждые вложенные 1000 $)
		«Восход»	«Закат»
Спад	0.2	– 100	+ 200
Стабильность	0.5	+100	+50
Подъём	0.3	+250	– 100

Случайная величина — доходность (средства вкладываются в тот фонд, который даёт наибольшую доходность).

Распределение доходности инвестиций:

xi	100	200	250
pi	0.5	0.2	0.3

Функция распределения случайной величины — суммы выигрыша:

Если функция распределения  непрерывна, то случайная величина  называется непрерывной случайной величиной.

Плотность распределения вероятностей

Если функция распределения  дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины , которая связана с  функцией распределения формулами

 и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Вероятность того, что значение случайной величины  попадает в интервал , вычисляется для непрерывной случайной величины по формулам:

 или ,

а для дискретной случайной величины — по формуле:

.