Точечные оценки параметров распределений

Пример 1. Задана выборка, содержащая 100 значений случайной величины.
Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины.
На приведенном ниже рисунке изображён фрагмент листа Excel с вычислениями.

Получили .

Точечная оценка вероятности события
Предположим, что в некотором эксперименте событие A происходит (благоприятный исход испытания) с вероятностью p и не происходит с вероятностью q =1– p и пусть случайная величина  m — количество  благоприятных исходов в серии испытаний. Задача состоит в получении по результатам серии n случайных экспериментов оценки  неизвестного параметра  распределения p.
При заданном числе испытаний n  величина m — случайная величина, имеющая биномиальное распределение. Если событие A в серии из n независимых испытаний произошло m раз, то m— значение случайной величиныm.
Оценку  величины  будем вычислять по формуле .
Эта оценка несмещённая, состоятельная и эффективная.
Доказано, что эта оценка эффективна — обладает при прочих равных условиях минимальной дисперсией.
На рисунке приведен график зависимости точечной оценки вероятности pчисла успехов от числа испытаний n в серии испытаний Бернулли. График построен по выборке 1000 значений случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметром p = 0.4. Видно, что с ростом числа испытаний точечная оценка приближается к известному точному значению параметра, которое равно 0.4.

График зависимости точечной оценки вероятности от числа испытаний

Пример 2. Задана выборка, содержащая  20 значений случайной величины (значения m) — количество успехов в эксперименте из 1000 независимых испытаний (проведено 20 одинаковых экспериментов по 1000 независимых испытаний в каждом).
Найдём точечную оценку  вероятности успеха  p и исследуем статистические свойства этой оценки.
На приведенном ниже рисунке изображён фрагмент листа Excel с вычислениями.

Вычисленные значения оценки вероятности записаны в столбце B. Видно, что все эти значения близки к 0.3.

Получили: значения оценки попадают в интервал [0.272, 0.325] длины 0.053, . Можно достаточно уверенно полагать вероятность успеха равной 0.3.

Точечная оценка параметров равномерного распределения
Пусть  выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x, имеющей равномерное распределение на [0, q] с неизвестным параметром q. Наша задача — оценить этот неизвестный параметр.
Для случайной величины  x , имеющей равномерное распределение на [0, q] математическое ожидание и дисперсия известны:  и .

А поскольку оценка  величины Mx  известна, , то за оценку  параметра  q можно взять оценку .

Несмещенность оценки очевидна: .
Состоятельность:

 ,

т.е. при n®¥дисперсия оценки  стремится к нулю.
Для получения другой оценки  параметра  обратимся к другой статистике:  
Пусть .
Найдем функцию распределения случайной величины :
,  для .
Тогда математическое ожидание и дисперсия случайной величины  равны соответственно  и , т.е. оценка  состоятельная, но смещенная.
Однако если вместо  рассмотреть , то  и , — состоятельная и несмещенная оценка.
А поскольку , то оценка  существенно эффективнее оценки . Например, при  разброс оценки  в 33 раза меньше разброса оценки .
Последний пример еще раз показывает, что выбор статистической оценки неизвестного параметра распределения — важная и нетривиальная задача.

Пример 3. Задана выборка, содержащая 100 значений случайной величины, о которой известно, что она имеет равномерное распределение на промежутке [0, q].
Вычислим и сравним три оценки неизвестного параметра q, котрые вычисляются по формулам:
, , .
На приведенном ниже рисунке изображён фрагмент листа Excel с вычислениями.

Как и следовало ожидать, оценка, полученная по формуле , совпадает с первой точечной оценкой.