6. 2. Двухфакторный дисперсионный анализ

Пусть случайная величина  зависит от двух признаков (факторов)  и .
Обозначим , , , — уровни факторов  и , соответственно.
Результаты измерения случайной величины  представлены в таблице

В каждой клетке таблицы –  при каждом сочетании  уровней факторов проведено по одному наблюдению (измерению). Тогда общее число наблюдений .
Обозначим через  математическое ожидание  при уровне , ; через  — математическое ожидание  при уровне , .
Если при изменении фактора  сохраняется равенство , то естественно считать, что величина  не зависит от фактора , принимается  нулевая гипотеза . В противном случае,   зависит от фактора .
Аналогично определяется зависимость от фактора , нулевая гипотеза  
При решении задачи будем предполагать, что выполняются следующие условия:
наблюдения при различных сочетаниях уровней факторов независимы и
при всех сочетаниях уровней факторов случайная величина  нормально распределена с одной и той же дисперсией .
Изменчивость наблюдаемых факторов при переходе от одной клетки таблицы к другой может быть обусловлена как изменением уровней факторов, так и случайными неконтролируемыми факторами.
Изменчивость, вызванная случайными неконтролируемыми факторами, называется остаточной.
Вычислим общую среднюю результатов измерений по формуле
.
Эту величину можно представить в другой форме, использующей групповые средние  и :
, .
Точка  в индексе величины  означает, что суммирование ведется по i-й строке, а точка в индексе величины  означает, что суммирование ведется по j-му столбцу.
В этих обозначениях средняя результатов измерений вычисляется по формуле
 или .
Средняя изменчивость, вызванная фактором , вычисляется по формуле
.
Аналогично для изменчивости, вызванной фактором :
.
Для характеристики изменчивости, обусловленной случайными факторами, вычисляем
.
Общую изменчивость величины  характеризуют величиной
.
Доказано, что .
Проверка гипотезы  основывается на сравнении величин  и  .
Если гипотеза  верна, то величина  имеет распределение Фишера со степенями свободы  и .
Зададимся уровнем значимости  и найдем правостороннюю критическую точку  — решение уравнения .
Если  значение , вычисленное по результатам измерений удовлетворяет неравенству , то гипотеза  принимается.
В противном случае – отвергается и можно заключить, что изменение фактора  влияет на изменение величины .
Мерой этого влияния является коэффициент детерминации , который показывает, какая доля общей изменчивости величины  обусловлена увеличением фактора .
Аналогично проверяется гипотеза  основывается на сравнении величин  и  .
Если гипотеза  верна, то величина   имеет распределение Фишера со степенями свободы  и .
При уровне значимости  правосторонняя критическая точка  — решение уравнения .
Если  значение , вычисленное по результатам измерений удовлетворяет неравенству ,
то гипотеза  принимается.
В противном случае гипотеза  отвергается и можно заключить, что изменение фактора   влияет на изменение величины .
Мерой этого влияния является коэффициент детерминации , который показывает, какая доля общей изменчивости величины  обусловлена увеличением фактора .
В рамках двухфакторного дисперсионного анализа можно получить более конкретное представление о случайной величине .
Ее модель на -м уровне фактора A и на j-м уровне фактора  B имеет вид
, ,  ,
Где a  —  генеральное среднее случайной величины ,
 — слагаемое, которое описывает эффект влияния фактора A на случайную величину  на  i-м уровне фактора A,
 — слагаемое, которое описывает эффект влияния фактора B на случайную величину  на  j-м уровне фактора  B,
 — слагаемое, которое описывает эффект влияния случайных факторов.
Величины  — независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение .
Если гипотезы  и  не отвергаются, то в рассмотренной модели  параметры
 и .
Величина  является оценкой параметра , а величина  — несмещенная оценка параметра .
Если гипотезы  и  отвергаются, то: оценка параметра a равна , оценка параметра  равна ,  оценка параметра  равна ,
а величина  служит несмещенной оценкой параметра .